問題7 ~ 物体の運動 (糸の重さ有り)
物体の運動 (糸の重さ有り)
問題
質量 $m$ の伸びない糸の下端に質量 $M$ の物体を結び鉛直に吊るした。
この糸の上端に一定の力 $F$ を鉛直上向きに作用させた。以下の問に答えよ。
(1) 糸の運動方程式及び物体の運動方程式を記述せよ。
(2) 運動方程式から物体の加速度 $a$ ならびに物体と糸との間に作用し合う力の大きさ $T$ を求めよ。
(早大理工 類)
解答
運動方程式を立てる
まずは軸を設定し、
続いて作用する力を書く
糸と物体は一体となって加速度 $a$ で運動しているとすると
運動方程式は
糸 ： $ma=F – mg -T$
物体： $Ma =T -Mg$
となる。
問に答える
(2) 運動方程式の2式の和を取ると
\begin{eqnarray*}
(m + M) a = F-mg -Mg
\end{eqnarray*}
よって、加速度 $a$ は
\begin{eqnarray*}
a &=& \frac{F-(m +M) g }{m+M} \\
\\
&=& \frac{F}{m+M} – g
\end{eqnarray*}
となり、糸との間に作用する力 $T$ は
\begin{eqnarray*}
T &=& M\left( \frac{F}{m+M} – g \right) +Mg \\
\\
&=&\frac{MF}{m+M} – Mg +Mg \\
\\
&=&\frac{MF}{m+M}
\end{eqnarray*}
となる。
コメント
・糸が受ける力は糸の重力、接続部分から受ける力、引く力がある。
・糸の重力は重心と考えて良い。
・物体が受ける力の探し方は、場の力$\to$接触力$\to$慣性力の順となる。
・糸が物体から受ける力は接続部分からの力であり、$Mg$では無いことに注意する。