問題6 ~ 物体の運動 (滑車)
物体の運動 (滑車)
問題
図のように、質量 $m$ 及び $M$ の二物体が伸び縮みしない軽いひもでつながっている。
$m$ を摩擦のない台の上に置き、ひもを滑車に引っ掛けて$M$をぶら下げたとき、$m$ が前進する加速度 $a$ 及び、ひもの張力 $T$ を求めよ。
但し、滑車の軸は摩擦無く回転するものとし、滑車の質量とひもの質量及び空気の抵抗は無視する。また、重力加速度は $g$ であるとする。
(日大理工 類)
解答
運動方程式を立てる
まずは軸を設定し、
続いて作用する力を書く
運動方程式は
$m$ について、$x,y$ 軸の加速度を $a_x,a_y$ とすると
$x$ 方向： $ma_x=T-f$
$y$ 方向： $ma_y =N -mg$
$M$ について $x$ 軸の加速度を $\alpha$ とすると
\begin{eqnarray*}
M \alpha = Mg -T
\end{eqnarray*}
となる。
ここで、束縛条件より $a_y =0$ 、摩擦の無い台なので $f=0$ 、また、糸は伸び縮みしないので
$a_x=\alpha=a$ とすると、運動方程式は
\begin{eqnarray*}
\begin{cases}
ma &=& T \\
０ &=& N-mg
\end{cases}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
M a =Mg – T
\end{eqnarray*}
となる。
問に答える。
\begin{eqnarray*}
ma &=& T\\
Ma &=& Mg – T
\end{eqnarray*}
の2式の和を取ると、
\begin{eqnarray*}
(m + M) a = Mg
\end{eqnarray*}
よって、加速度 $a$ は
\begin{eqnarray*}
a = \frac{M}{m + M} g
\end{eqnarray*}
となり、ひもの張力 $T$ は
\begin{eqnarray*}
T &=& m \frac{M}{m + M} g \\
\\
&=& \frac{mM}{m + M} g
\end{eqnarray*}
となる。
コメント
・運動方程式は使うかどうかに限らず書くべきです。
・今回は、摩擦無しのモデルなので鉛直方向の式は使わなかった。でも書くべき。
・自分で文字で置いた物理量を問題文の文字に置き直すのを忘れない。
・モデルの運動方程式を自分で立てる$\to$問題の条件を当てはめる$\to$問に答えるの流れ。