問題3 ~ 落体の運動 (水平投射)-02
落体の運動 (水平投射)-02
問題
図のように、小球が高さ $a [\mbox{m}]$ の台上の点Aから水平方向に初速 $v_0 [\mbox{m/s}]$ で飛び出し、水平面上の点Bに落下した。
このとき、点Aと点Bの間の水平距離は $a [\mbox{m}]$ であった。重力加速度の大きさを $g [\mbox{m/s}^2]$ とする。
(1) 小球が点Aを飛び出してから点Bに落下するまでにかかる時間を $a$ と $g$ を用いて表せ。
(2) $v_0$ を $a$ と $g$ を用いて表せ。
(3) 点Bで水平面の衝突する直前の小球の速さを求めよ。
(千葉工大)
解答
運動方程式を立てる
まずは軸を設定し、
続いて作用する力を書く
運動方程式は
$x$ 方向： $ma_x=0$
$y$ 方向： $ma_y = mg$
よって、加速度は
\begin{eqnarray*}
\begin{cases}
a_x=0 \\
a_y=g
\end{cases}
\end{eqnarray*}
となる。
この2式から速度と変位を $x,y$ それぞれの軸に対して求めていく。
運動方程式を解く
$x$ 軸について
\begin{eqnarray*}
a_x = \frac{dv_x}{dt} & = & 0 \\
v_x & = & C_1
\end{eqnarray*}
$t=0$ で $v_x=v_0$ なので
\begin{eqnarray*}
v_x(0) = C_1 & = & v_0 \\
C_1 & = & v_0
\end{eqnarray*}
よって
$$
v_x=v_0 = \mbox{一定} \quad \mbox{(等速度運動)}
$$
と表せる。
変位は
\begin{eqnarray*}
v_x = \frac{dx}{dt} & = & v_0 \\
x & = & v_0 t +C_2
\end{eqnarray*}
$t=0$ で $x=0$ より
\begin{eqnarray*}
x(0) = v_0 \cdot 0 + C_2 & = &0 \\
C_2 & = &0
\end{eqnarray*}
よって
$$
x = v_0 t
$$
と表せる
$y$ 軸について
\begin{eqnarray*}
a_y = \frac{dv_y}{dt} & = & g \\
v_y & = & gt + C_3
\end{eqnarray*}
$t=0$ で $v_y=0$ より
\begin{eqnarray*}
v_y(0) = g \cdot 0 + C_3 & = &0 \\
C_3 & = &0
\end{eqnarray*}
よって
$$
v_y=gt \quad (g\ \mbox{一定の等加速度運動)}
$$
と表せる。
変位は
\begin{eqnarray*}
v_y = \frac{dy}{dt} & = & gt \\
y & = & \frac{1}{2} gt^2 +C_4
\end{eqnarray*}
$t=0$ で $y=0$ より
\begin{eqnarray*}
y(0) = \frac{1}{2} g \cdot 0^2 + C_4 & = &0 \\
C_4 & = &0
\end{eqnarray*}
よって
$$
y = \frac{1}{2} gt^2
$$
と表せる。
問いに答える
問題文を見てみると、
(1) Bに落下 → $y$ 方向に $a$ 動いた
Bに到達した時刻を $t_1$ とすると
\begin{eqnarray*}
y(t_1) =\frac{1}{2} gt_1^2 & = & a \\
t_1^2 & = & \frac{2a}{g} \\
t_1 & = & \sqrt{\frac{2a}{g}}
\end{eqnarray*}
答 $\sqrt{\frac{2a}{g}}\ [\mbox{s}]$
(2) $x$ 方向に注目すると、点Bで $x = a$ となっているので
\begin{eqnarray*}
x(t_1) = v_0 t & = & a \\
v_0 & = & \frac{a}{t_1} \\
& = & \frac{a}{\sqrt{\frac{2a}{g}}} \\
& = & a \sqrt{\frac{g}{2a}} \\
& = & \sqrt{\frac{ga^2}{2a}} \\
& = & \sqrt{\frac{ag}{2}}
\end{eqnarray*}
答 $v_0 = \sqrt{\frac{ag}{2}}\ [\mbox{m/s}]$
(3) 点Bでの速さ $v_B$ を求める
衝突する直前の速度を図に表すと、
\begin{eqnarray*}
v_x (t_1) & = & v_0 = \sqrt{\frac{ag}{2}} \\
v_y (t_1) & = & gt_1 = g \sqrt{\frac{2a}{g}} = \sqrt{2ag}
\end{eqnarray*}
従って
\begin{eqnarray*}
v_B^2 = v_x (t_1)^2+v_y (t_1)^2 & = & \left( \sqrt{\frac{ag}{2}} \right)^2 + (\sqrt{2ag})^2 \\
& = & \frac{ag}{2} + 2ag \\
& = & \frac{5}{2}ag
\end{eqnarray*}
よって、
$$
v_B = \sqrt{\frac{5}{2}ag}
$$
答 $\sqrt{\frac{5}{2}ag}\ [\mbox{m/s}]$
コメント
・地面に衝突する速度を求める問題。(1),(2) はそのための下準備。
・衝突する瞬間の図が描ければ後は必要な物理量を計算するだけ。
・文中に単位が記述されていたら、解答にも必ず単位まで記述すること。