コラム ~ 運動方程式は古典力学の全てだ！
・・・と言っても過言ではないと思う。
ニュートンさんスゴイ！
古典力学は別名「ニュートン力学」とも呼ばれたりします。
$$
ma=F
$$
この式をどのように解釈するか？
「物体に加速度が生じたのは、力が原因である」
「質量は比例定数として、$a$ と $F$ は比例する」
運動方程式は、加速度と力を結びつけているとみることができる。
この運動方程式を少し変形してみると、
\begin{eqnarray*}
ma & = & F \\
m\frac{dv}{dt} & = & F
\end{eqnarray*}
両辺に速度 $v= \frac{dx}{dt}$ をかけると
\begin{eqnarray*}
mv\frac{dv}{dt} & = & F \frac{dx}{dt} \\
\frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2}mv^2 \right) & = & \frac{d}{dt} (Fx)
\end{eqnarray*}
となる。
この式が表すことは、運動エネルギー$\frac{1}{2}mv^2$の変化は仕事$Fx$によるものである。
また、運動方程式において、
\begin{eqnarray*}
m\frac{dv}{dt} & = & F \\
\frac{d}{dt} (mv)& = & F
\end{eqnarray*}
と表すことができる。
本来、ニュートンが初めに発表していた運動方程式はこの形で、
「運動量の変化は力による」
ことを表している。
運動量$mv =p$と置くと
\begin{eqnarray*}
\frac{dp}{dt} & = & F \\
dp & = & F dt
\end{eqnarray*}
となり、$F dt$は力積を表している。
このように運動方程式からさまざまな物理量を導き出すことができます。
高校物理の範囲では「～となることがわかっている」の様に天下りで与えられていた公式が
いくつかあります。
だから、高校物理では公式の暗記して当てはめるだけであまり面白味を感じられなかったかもしれません。
しかし、大学の物理ではそれぞれの天下りの式が、ひとつひとつ導くことができるようになります。
数学の力を使うことで「覚えるべき式」「与えられる式」が「自分の力で導ける式」に変わります。
物理で覚えるべき公式はそう多くはありません。
覚えるのではなく、導くのです。導ける力を養って下さい。
補足
$mv\frac{dv}{dt}$ が$\frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2}mv^2 \right)$ と変形できることは知っているものとして使ってもかまいません。
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2}mv^2 \right) & = & \frac{1}{2} m \cdot 2v \cdot v’ \\
& = & m v \cdot v’ \\
& = & m v \frac{dv}{dt}
\end{eqnarray*}
となり、もとの形になることが示せます。